Trenutak moći. Nekoliko snaga.

1. Osnovni pojmovi i definicije statike.

Materijalni objekti u statici:

materijalna točka,

sustav materijalnih točaka,

potpuno čvrsto tijelo.

Sustav materijalnih točaka, ili mehanički sustav, je skup materijalnih točaka u kojem položaj i kretanje svake točke ovisi o položaju i kretanju drugih točaka ovog sustava.

Apsolutno kruto tijelo je tijelo čija se udaljenost između dviju točaka ne mijenja.

Čvrsto tijelo može biti u stanju mirovanja ili u gibanju određene prirode. Nazvat ćemo svako od ovih stanja kinematičko stanje tijela.

	Sila- mjera mehaničke interakcije tijela, koja određuje intenzitet i smjer te interakcije. Sila može se primijeniti na točku, tada je ova sila koncentrirana. Sila može djelovati na sve točke određenog volumena ili površine tijela, tada je ta sila distribuiran.
	Sustav sila - sa ukupnost sila koje djeluju na određeno tijelo.
	Rezultat naziva se sila ekvivalentna određenom sustavu sila.
	Sila za ravnotežu naziva se sila koja je po veličini jednaka rezultanti i usmjerena duž linije njezina djelovanja u suprotnom smjeru.
	Sustav međusobno uravnotežujućih sila je sustav sila koji, kada djeluje na čvrsto tijelo u mirovanju, ne uklanja ga iz tog stanja.

Unutarnje sile- to su sile koje djeluju između točaka ili tijela danog sustava.

Vanjske sile- to su sile koje djeluju iz točaka ili tijela koja nisu dio zadanog sustava.

Statički zadaci:

- transformacija sustava sila koje djeluju na čvrsto tijelo u njima ekvivalentne sustave;

- proučavanje stanja ravnoteže tijela pod utjecajem sila koje na njih djeluju.

1. Aksiomi statike.

		3. Aksiom zbrajanja i isključenja ravnotežnih sila. Djelovanje sustava sila na čvrsto tijelo neće se promijeniti ako mu se doda ili iz njega isključi sustav sila koji se međusobno uravnotežuju. Posljedica. Bez promjene kinematičkog stanja apsolutno krutog tijela, sila se može prenositi duž linije njegovog djelovanja, zadržavajući svoj modul i smjer nepromijenjenim. S mulj - klizni vektor.
	4. Aksiom paralelograma sila. Rezultanta dviju sila koje se sijeku primjenjuje se u točki njihova sjecišta i predstavljena je dijagonalom paralelograma konstruiranog na tim silama.

5. Aksiom jednakosti akcije i reakcije. Svaka radnja ima jednaku i suprotnu reakciju.

2. Veze i njihove reakcije

Kruto tijelo nazivamo slobodnim ako se može kretati u prostoru u bilo kojem smjeru.

Tijelo koje ograničava slobodu kretanja zadanog krutog tijela je veza u odnosu na njega.

Kruto tijelo čija je sloboda kretanja ograničena vezama naziva se neslobodnim.

Sve sile koje djeluju na neslobodno kruto tijelo mogu se podijeliti na:

• postavljeno (aktivno)
• reakcije veza

Postavite snagu izražava djelovanje na dato tijelo drugih tijela koja mogu izazvati promjenu njegova kinematičkog stanja.

Reakcija komunikacije - ovo je sila s kojom određena veza djeluje na tijelo, sprječavajući jedno ili drugo njegovo kretanje.

Princip oslobađanja čvrstih tijela od veza - neslobodno čvrsto tijelo može se smatrati slobodnim tijelom, na koje osim navedenih sila djeluju i reakcije veza.

Kako odrediti smjer reakcije?

Ako na ravnini postoje dva međusobno okomita pravca od kojih u jednom spoj sprječava gibanje tijela, a u drugom ne, tada je smjer njegove reakcije suprotan prvom smjeru.

Općenito reakcija veze usmjerena je u smjeru suprotnom od onoga u kojem veza ne dopušta pomicanje tijela.

	Fiksni zglob Mobilni

3. Moment sile oko središta

Trenutak moći F u odnosu na neko fiksno središte O je vektor koji se nalazi okomito na ravninu koja prolazi kroz vektor sile i središte O usmjereno u tom smjeru tako da se gledajući s njegovog kraja vidi rotacija sile F u odnosu na središte O suprotno od kazaljke na satu.

Svojstva momenta sile u odnosu na središte:

	1) Modul momenta sile u odnosu na središte može se izraziti dvostrukom površinom trokuta OAV (1.1) 2) Moment sile u odnosu na središte jednaka nuli u slučaju da ovom točkom prolazi linija djelovanja sile tj h = 0 .
	3) Ako iz točke OKO do točke primjene sile A nacrtati radijus vektor, tada se vektor momenta sile može izraziti kao vektorski produkt (1.2)
	4) Kada se sila prenosi duž linije njenog djelovanja, vektor njenog momenta u odnosu na danu točku se ne mijenja.

Ako se nekoliko sila koje leže u istoj ravnini primijeni na kruto tijelo, možete izračunati algebarski zbroj momenata tih sila u odnosu na bilo koju točku u ovoj ravnini

Trenutak M O , jednak algebarskom zbroju momenata danog sustava u odnosu na bilo koju točku u istoj ravnini, naziva se glavni moment sustava sila u odnosu na ovu točku.

3. Moment sile oko osi

Za određivanje momenta sile oko osi potrebno je:

1) nacrtati ravninu okomitu na Z os;

2) odrediti točku OKO presjek osi s ravninom;

3) projektirati silu ortogonalno F ovoj ravnini;

4) pronaći moment projekcije sile F u odnosu na točku O presjeka osi s ravninom.

Pravilo znaka:

Moment sile u odnosu na os smatra se pozitivnim ako, gledajući prema osi Z , može se vidjeti kako projekcija teži rotaciji ravnine ja oko Z osi u smjeru suprotnom od rotacije u smjeru kazaljke na satu.

Svojstva momenta sile u odnosu na os 1) Moment sile u odnosu na os predstavljen je segmentom nacrtanim duž osi Z od točke O u pozitivnom smjeru ako je > 0 i u negativnom smjeru ako je< 0. 2) Vrijednost momenta sile oko osi može se izraziti dvostrukom površinom Δ (1.5) 3) Moment sile u odnosu na os jednak je nuli u dva slučaja: Ako F 1 = 0, odnosno pravac djelovanja sile paralelan je s osi; ako h 1 = 0 , odnosno pravac djelovanja sile siječe os.

4. Par sila. Vektorski i algebarski moment para sila

Sustav dviju po veličini jednakih, paralelnih i suprotno usmjerenih sila i naziva se par snaga.

Ravnina u kojoj se nalaze pravci djelovanja sila i naziva se ravnina djelovanja para sila.

Najkraća udaljenost h između linija djelovanja sila koje čine par zove se rame od par sila.

Moment par sila određuje se umnoškom modula jedne od sila para i ramena.

Pravilo znakova

Vektor momenta M para usmjeren je okomito na ravninu djelovanja para sila u takvom smjeru da se, gledajući prema tom vektoru, vidi par sila koji teži zakrenuti ravninu svog djelovanja u smjeru suprotnom od na rotaciju u smjeru kazaljke na satu.

1. 4. Svojstva parova sila na ravnini

Svojstvo 1. Vektor momenta M parova po veličini i smjeru jednak je vektorskom umnošku polumjera vektora AB na onu sila ovog para, prema čijem početku je usmjeren radijus vektor AB, to je

(1.7)

Svojstvo 2. Glavni moment sila koje čine par u odnosu na proizvoljnu točku na ravnini djelovanja para ne ovisi o položaju te točke i jednak je momentu tog para sila.

5. Uvjeti ekvivalencije parova sila

Teorem o uvjetu ekvivalencije parova sila,

ležeći u istoj ravnini.

Par sila je sustav dviju jednakih po veličini, paralelnih i usmjerenih u suprotnim smjerovima sila koje djeluju na apsolutno kruto tijelo (slika 32, a). Sustav sila F, F koje čine par očito nije u ravnoteži (te sile nisu usmjerene duž iste ravne linije). Istovremeno, par sila nema rezultantu, budući da je, kao što će biti dokazano, rezultanta svakog sustava sila glavni vektor, tj. zbroj tih sila, pa je za par, dakle, svojstva para sila, kao posebnu mjeru mehaničkog međudjelovanja tijela, treba posebno razmotriti.

Ravnina koja prolazi kroz pravce djelovanja para sila naziva se ravnina djelovanja para. Udaljenost d između linija djelovanja sila para naziva se rame para. Djelovanje para sila na kruto tijelo svodi se na određeni rotacijski učinak, koji karakterizira veličina koja se naziva moment para. Ovaj moment određen je: 1) njegovim modulom, jednakim umnošku položaja u prostoru ravnine djelovanja para; 3) smjer rotacije para u ovoj ravnini. Dakle, kao i moment sile u odnosu na središte, ovo je vektorska veličina.

Uvedimo sljedeću definiciju: moment para sila je vektor (ili M) čiji je modul jednak umnošku modula jedne od sila tog para i njegovog ramena i koji je usmjeren okomito na ravninu djelovanja para u smjeru iz kojeg se vidi par koji pokušava okrenuti tijelo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (slika 32, b).

Napomenimo također da budući da je krak sile F u odnosu na točku A jednak d, a ravnina koja prolazi kroz točku A i silu F poklapa se s ravninom djelovanja para, tada u isto vrijeme

Ali za razliku od momenta sile, vektor, kao što će biti prikazano u nastavku, može se primijeniti u bilo kojoj točki (takav se vektor naziva slobodnim). Moment para, kao i moment sile, mjeri se u njutn metrima.

Pokažimo da se momentu para može dati još jedan izraz: moment para jednak je zbroju momenata u odnosu na bilo koje središte O sila koje tvore par, tj.

Da bismo to dokazali, povucimo radijus vektore iz proizvoljne točke O (slika 33)

Zatim, prema formuli (14), ono što dobivamo i, prema tome,

Budući da je valjanost jednakosti (15) dokazana. Stoga, posebice, rezultat koji je već spomenut gore slijedi:

tj. da je moment para jednak momentu jedne njegove sile u odnosu na točku primjene druge sile. Napomenimo i to da je modul momenta para

Ako prihvatimo da je djelovanje para sila na čvrsto tijelo (njegov rotacijski učinak) potpuno određeno vrijednošću zbroja momenata para sila u odnosu na bilo koje središte O, tada iz formule (15) slijedi da su dva para sila s istim momentima ekvivalentna, tj. imaju isti mehanički učinak na tijelo. Inače, to znači da dva para sila, bez obzira na to gdje se svaki od njih nalazi u datoj ravnini (ili u paralelnim ravninama) i koliko su jednaki pojedini moduli njihovih sila i ramena, ako njihovi momenti imaju istu vrijednost , volja su ekvivalentni. Budući da je izbor centra O proizvoljan, vektor se može smatrati primijenjenim u bilo kojoj točki, tj. slobodan je vektor.

Par sila je sustav dviju po veličini jednakih, paralelnih i u suprotnim smjerovima usmjerenih sila koje djeluju na apsolutno kruto tijelo (slika 15).

Najkraća udaljenost (okomica) između pravaca djelovanja sila naziva se rameα parovi.

Djelovanje para sila na tijelo svodi se na rotacijski učinak, koji ovisi o:

1) o modulu F para sila i duljini njegovog kraka α;

2) položaj ravnine djelovanja para;

Moment para je veličina jednaka proizvodu modula jedne od sila para i njegovog ramena, uzetog s odgovarajućim predznakom:

M = ±Fα. (1.7)

Algebarski zbroj momenata para sila u odnosu na bilo koje središte koje leži u ravnini njegova djelovanja ne ovisi o izboru tog središta i jednak je momentu para:

m 0 (F) + m 0 (F′) = M.

Teorem o ekvivalenciji parova. Bez promjene djelovanja na tijelo, par sila koji djeluje na apsolutno kruto tijelo može se zamijeniti bilo kojim drugim parom sila koji leži u istoj ravnini i ima isti moment. Iz ovog teorema slijede sljedeća svojstva para sila:

1) ovaj par, bez promjene učinka koji vrši na tijelo, može se prenijeti bilo gdje u ravnini djelovanja para;

2) za dati par, bez promjene djelovanja koje vrši na tijelo, možete proizvoljno promijeniti modul sile ili duljinu kraka, zadržavajući njegov moment nepromijenjenim.

Teorema. Djelovanje para sila na čvrsto tijelo neće se promijeniti ako se par sila prenese iz dane ravnine u bilo koju drugu ravninu paralelnu s njom..

Zbrajanje parova koji leže u istoj ravnini

Teorem o zbrajanju parova. Sustav parova koji leže u istoj ravnini ekvivalentan je jednom paru koji leži u istoj ravnini i ima moment jednak algebarskom zbroju momenata članova parova:

M=Σ m i.

Za ravnotežu ravnog sustava parova potrebno je i dovoljno da algebarski zbroj tih parova bude jednak nuli:

Σ m i= 0 .

Ova jednakost je uvjet za ravnotežu parova.

PITANJA ZA SAMOKONTROLU

1. Je li reakcija veze primijenjena na tijelo ili na vezu?

2. Navedite glavne vrste veza

3. Koliko komponenti reakcije ima svaka vrsta veze i kamo su usmjerene?

4 Formulirajte pojam “algebarskog momenta sile”.

5. Što znači "rame moći"?

6. Kako se određuje predznak algebarskog momenta sile?

7. Što je “moćni par”?

8 Što znači "poluga u paru"?

9. Kako se određuje algebarski moment para i njegov predznak?

1. Koji sustav sila nazivamo parom?

2. Zašto par sila nema rezultantu?

3. Čime je obilježeno djelovanje para sila na tijelo?

4. Koji je smjer vektora momenta para sila?

5. Kako se određuju momenti parova sila koji leže u istoj ravnini?

6. Koji su uvjeti ekvivalencije parova sila na ravnini iu prostoru?

7. Koje transformacije para sila ne mijenjaju njegovo djelovanje na čvrsto tijelo?

8. Zašto je moment para sila slobodni vektor?

9. Koliki je moment para sila ekvivalentan dvama parovima sila smještenim u okomitim ravninama, ako je M 1 = 10 mm; M2 = 20 nm?

10. Koliki je moment para sila ekvivalentan sustavu parova sila koji se nalazi u prostoru i istoj ravnini?

11. Koji su uvjeti ravnoteže za sustav parova sila koji se nalaze u prostoru i istoj ravnini?

12. Kako se dani par sila može uravnotežiti?

6 Dovođenje sustava sila u središte. Uvjeti ravnoteže

6.1 Teorem o paralelnom prijenosu sile

Rezultanta sustava konvergirajućih sila izravno se nalazi pomoću zakona paralelograma sila. Očito se sličan problem može riješiti za proizvoljan sustav sila ako za njih pronađemo metodu koja nam omogućuje prijenos svih sila u jednu točku. Ova metoda je dana sljedećim teoremom: sila primijenjena na apsolutno kruto tijelo može se, bez promjene učinka koji ima, prenijeti s dane točke na bilo koju drugu točku tijela, dodajući par s momentom jednakim momentu prenesene sile u odnosu na točku u kojoj sila se prenosi.

Ovu metodu je predložio francuski znanstvenik Poinsot (1777-1859), a zove se dovođenje sile u zadani centar. Neka na kruto tijelo djeluje sila koja djeluje u točki A (slika 6.1 a))

Slika 6.1

Djelovanje ove sile ne mijenja se ako se dvije uravnotežene sile i primjenjuju na bilo koju točku B tijela, tako da; . Rezultirajući sustav od tri sile predstavlja silu jednaku, ali primijenjenu u točki B, i par s momentom

Jednakost (6.1) slijedi iz formule (5.7). Dakle, teorem je dokazan. Rezultat koji daje teorem također se može prikazati kao što je prikazano na slici 6.1 b), silu na ovoj slici treba smatrati odbačenom. Točka B, gdje se sila prenosi, često se naziva redukcijska točka .

Neka na čvrsto tijelo djeluje proizvoljan sustav sila (slika 6.2 a). Odaberimo proizvoljnu točku O kao središte redukcije i pomoću gore dokazanog teorema prenesimo sve sile u središte O zbrajajući odgovarajuće parove (slika 6.2 b). Tada će na tijelo djelovati sustav sila:

primijenjen u središtu O, i sustav parova čiji su momenti, prema formuli (6.1), jednaki:

(Sile se prenose paralelno same sa sobom i jednake su po veličini).

Slika 6.2

Sile koje konvergiraju u točki O zamjenjuju se jednom silom koja djeluje u točki O. U ovom slučaju

Da biste zbrojili sve rezultirajuće parove, trebate zbrojiti vektore momenta tih parova. Kao rezultat toga, sustav parova bit će zamijenjen jednim parom, čiji je trenutak:

Naziva se veličina jednaka geometrijskom zbroju svih sila glavni vektor sustava sila; naziva se vrijednost jednaka geometrijskom zbroju momenata svih sila u odnosu na središte O glavni moment sustava sila u odnosu na ovo središte .

Dakle, bilo koji sustav sila koji djeluje na apsolutno kruto tijelo, kada se dovede u proizvoljno odabrano središte O, zamjenjuje se jednom silom, jednakom glavnom vektoru sustava sila i primijenjenom u središtu redukcije O, i jednim parom s trenutak , jednak glavnom momentu sustava sila u odnosu na središte O(Slika 6.2 b).

Treba napomenuti da sila nije rezultanta danog sustava sila, budući da zamjenjuje sustav sila ne sam, već zajedno s parom.

Iz razmatranog proizlazi da su dva sustava sila koji imaju iste glavne vektore i glavne momente u odnosu na isto središte ekvivalentna (uvjet ekvivalencije sila).

Imajte na umu također da vrijednost ne ovisi o izboru središta O, a vrijednost, kada se položaj središta O promijeni, općenito se može promijeniti zbog promjena vrijednosti momenata pojedinih sila. Stoga je uvijek potrebno naznačiti u odnosu na koje se središte određuje glavni moment.

Razmotrimo na kraju dva posebna slučaja:

1) ako je za dati sustav sila; , tada se svodi na jedan par sila s momentom. U ovom slučaju vrijednost ne ovisi o središtu O, jer bi inače ispalo da je isti sustav sila zamijenjen različitim ali ekvivalentnim parovima, što je nemoguće.

2) ako je za dati sustav sila a , tada se on svodi na jednu silu, tj. rezultanta, jednaka i primijenjena u središtu O.

6.2 Uvjeti ravnoteže sustava sila. Teorem o momentu rezultante

(Varignonov teorem)

Pokažimo to za ravnotežu bilo kojeg sustava sila potrebno je i dovoljno da glavni vektor tog sustava sila i njegov glavni moment u odnosu na bilo koje središte budu jednaki nuli. , tj. tako da su ispunjeni sljedeći uvjeti:

gdje je O bilo koji centar.

Uvjeti (6.6) su nužni, jer ako bilo koji od njih nije zadovoljen, tada se sustav sila koje djeluju na tijelo svodi ili na rezultantu (kada), ili na par sila (kada) i, prema tome, nije uravnotežena. Pritom su dovoljni i uvjeti (6.6), jer kada se sustav sila može svesti samo na par s momentom , a budući da , tada dolazi do ravnoteže.

Koristeći dobiveni rezultat dokazujemo Varignonov teorem o momentu rezultante: ako dati sustav sila ima rezultantu, tada je moment rezultante u odnosu na bilo koje središte O jednak zbroju momenata sila sustava u odnosu na isto središte.

Slika 6.3

Pitanja za samokontrolu

1. Navedite teorem o paralelnom prijenosu sile.

2. Kako se naziva glavni vektor sustava sila?

3. Kako se naziva glavni moment sustava sila?

4. Kako se geometrijski određuje glavni vektor sustava sila?

5. Odredite glavni vektor sustava sila, koji je prikazan na slici, ako je F 1 = 10 H, F 2 = 50 H, F 3 = 30 H, OA = 4 m, OB = 0,6 m, OS = 0,3. m .

6. Zapišite formule pomoću kojih se analitički može odrediti glavni moment sustava sila u odnosu na odabranu točku.

7. Odredite glavni moment sustava sila koji je dan u zadatku 5 u odnosu na ishodište.

8. Ovise li glavni vektor i glavni moment zadanog sustava sila o izboru središta redukcije?

9. Pod kojim uvjetom je sila jednaka glavnom vektoru ravnog sustava sila rezultanta tog sustava sila?

Sustav dviju sila jednakih veličina, paralelnih i suprotnih smjerova, koje djeluju na apsolutno kruto tijelo. Djelovanje para sila na kruto tijelo svodi se na određeni rotacijski učinak koji karakterizira vrijednost - moment para.

Definirano je:

Njegov modul = F*d. d - udaljenost između linija djelovanja sila para, naziva se rame para.

Položaj u prostoru ravnine djelovanja para.

Smjer rotacije para u ovoj ravnini.

Moment par sila- vektor m (ili M), čiji je modul jednak umnošku modula jedne od sila para s njegovim ramenom, a koji je usmjeren okomito na ravninu djelovanja para u smjeru iz kojeg vidljiv je par koji pokušava okrenuti tijelo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Dva para leže u || ravnine i koje imaju isti moment su ekvivalentne.

Svi parovi u ravninama koje se sijeku mogu se zamijeniti jednim parom s momentom jednakim zbroju momenata tih parova. Za apsolutno čvrsto tijelo pare- slobodni vektor, određen samo trenutkom. Moment je okomit na ravninu koju čini par.

Par se može zamijeniti njemu jednakom paralelnom silom i parom s momentom jednakim umnošku te sile i udaljenosti do nove točke primjene.

Teoremi o parovima .

1) Dva para koja leže u istoj ravnini mogu se zamijeniti jednim parom koji leži u istoj ravnini, s momentom jednakim zbroju momenata ta dva para. .

2) Dva para koja imaju geometrijski jednake momente su ekvivalentna.

3) Bez narušavanja stanja čvrstog tijela, par sila se može prenijeti u ravninu njegovog djelovanja. Oni. moment par sila je slobodni vektor.

4) Sustav od nekoliko parova sila ekvivalentan je jednom paru, čiji je moment jednak vektorskom zbroju momenata tih parova. Oni. sustav parova se svodi na jedan par čiji je moment jednak zbroju momenata svih parova. Uvjet ravnoteže parova sila: - geometrijski zbroj njihovih momenata jednak je 0. Parovi sila koji se nalaze u istoj ravnini bit će međusobno uravnoteženi ako je algebarski zbroj njihovih momenata åM i = 0.

Moment sile oko točke - vektor numerički jednak umnošku modula sile s ramenom i usmjeren okomito na ravninu koja sadrži silu i točku, u takvom smjeru da, gledajući prema njemu, možete vidjeti silu koja teži okretanju u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Rame "h" je najkraća udaljenost od točke do linije djelovanja sile. - moment sile jednak je vektorskom umnošku vektora i vektora. Modul vektorskog umnoška: R×F×sina = F×h. Za ravni sustav obično se ne pronalazi vektor momenta, već samo njegova veličina: ± F×h, >0 - suprotno od kazaljke na satu; x, F y, F z su projekcije sile na koordinatne osi i točka 0 je ishodište koordinata, zatim

= (yF z - zF y) + (zF x - xF z) + (xF y - yF x), odakle proizlaze projekcije momenta sile na koordinatnu os: M 0 x () = yF z - zF y ; M 0 y () = zF x - xF z ; M 0 z () = xF y - yF x .

Glavni vektor je vektorski zbroj svih sila koje djeluju na tijelo. Glavni moment u odnosu na središte je vektorski zbroj momenata svih sila koje djeluju na tijelo u odnosu na isto središte.

Teorem (lema) o paralelnom prijenosu sile: sila primijenjena u bilo kojoj točki na čvrsto tijelo. tijelo, ekvivalentno istoj sili primijenjenoj na bilo koju drugu točku tog tijela, i par sila, čiji je moment jednak momentu dane sile u odnosu na novu točku primjene.