География, биология, химия, алгебра, геометрия... Школьникам приходится иметь дело с множеством сведений из самых различных наук. Однако есть области знаний, в которых достаточно просто разобраться, ознакомившись с их основными законами. К ним относится и геометрия. Чтобы познать все тонкости этой науки, надо обязательно познакомиться с ее азами, аксиомами. Ведь без основ в геометрии никуда.
Определение прямоугольника
Прямоугольник - это геометрическая фигура с четырьмя прямыми углами. Определение довольно простое, но не стоит думать, что у школьника не возникнет проблем с изучением такой темы, ведь здесь есть ряд особенностей. Размеры прямоугольника зависят от длины его сторон, которые наиболее часто обозначаются латинскими буквами а и b.
Свойства прямоугольника
- стороны, лежащие друга против друга, равны и параллельны;
- диагонали фигуры равны;
- точка пересечения диагоналей делит их пополам;
- прямоугольник можно поделить на два равных
Признаки прямоугольника
Существует всего три признака, которыми обладает прямоугольник. Вот они:
- параллелограмм с равными диагоналями - это прямоугольник;
- параллелограмм с одним прямым углом - это прямоугольник;
- четырехугольник с тремя прямыми углами - это прямоугольник.
Еще немного интересного
Итак, что такое прямоугольник, теперь понятно, но какую роль он играет в геометрических задачах и при измерениях на практике, еще предстоит разобраться. Так, в первую очередь надо сказать, что это наиболее удобная геометрическая фигура, при помощи которой можно делить площадь на участки и на открытой местности, и в помещениях.
Что такое прямоугольник? Как известно, он является четырехугольником. Существует множество разновидностей последнего, среди которых можно назвать трапецию (только две стороны равны), параллелограмм (противоположные стороны параллельны), квадрат (все углы и стороны одинаковые), ромб (параллелограмм с равными сторонами) и другие. Частным же случаем прямоугольника является квадрат, у которого все углы прямые, а стороны равны.
Нельзя говорить о том, что такое прямоугольник, и не упомянуть о том, как же определить его размеры. Площадью этой принято считать произведение ее ширины на длину, а периметр же, как и у любой фигуры, равняется сумме длин всех сторон. В данном случае он также равен удвоенной сумме длины и ширины, поскольку противолежащие стороны прямоугольника равны. Теперь вы знаете, что такое прямоугольник и что с ним делать, решая задачи и постигая секреты такой загадочной и таинственной науки, как геометрия.
Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Диагонали прямоугольника равны. Вторая формула нахождения площади прямоугольника исходит из формулы площади четырехугольника через диагонали.
Прямоугольник - это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.
Квадрат - это частный случай прямоугольника.
Прямоугольник имеет две пары равных сторон. Длина наиболее длинных пар сторон называется длиной прямоугольника , а длина наиболее коротких - шириной прямоугольника .
Свойства прямоугольника
1. Прямоугольник - это параллелограмм
Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) )
2. Противоположные стороны равны
\(AB = CD,\enspace BC = AD \)
3. Противоположные стороны параллельны
\(AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD \)
4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу
\(AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB \)
5. Диагонали прямоугольника равны
\(AC = BD \)
Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит \(AB = CD \) .
Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle DCA \) по двум катетам (\(AB = CD \) и \(AD \) - совместный).
Если обе фигуры - \(ABC \) и \(DCA \) тождественны, то и их гипотенузы \(BD \) и \(AC \) тоже тождественны.
Значит, \(AC = BD \) .
Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.
Докажем и это.
\(\Rightarrow AB = CD \) , \(AC = BD \) по условию. \(\Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA \) уже по трем сторонам.
Получается, что \(\angle A = \angle D \) (как углы параллелограмма). И \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) .
Выводим, что \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D \) . Все они по \(90^{\circ} \) . В сумме - \(360^{\circ} \) .
7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника
\(\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD \)
8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам
\(AO = BO = CO = DO \)
9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности
Прямоугольник – это в первую очередь геометрическая плоская фигура. Она состоит из четырех точек, которые соединены между собой двумя парами равных отрезков, перпендикулярно пересекающихся только в этих точках.
Прямоугольник определяют через параллелограмм. По-другому, прямоугольник – это параллелограмм, углы которого все прямые, то есть равные 90 градусам. В геометрии Евклида, если у геометрической фигуры 3 из 4 углов равны 90 градусам, то четвёртый угол автоматически равен 90 градусам и такую фигуру можно назвать прямоугольником. Из определения параллелограмма ясно, что прямоугольник – множество разновидностей этой фигуры на плоскости. Из этого следует, что свойства параллелограмма применимы и к прямоугольнику. Например: в прямоугольнике противолежащие стороны равные по своей длине. При построении диагонали в прямоугольнике она разобьет фигуру на два одинаковых треугольника. На этой и основана теорема Пифагора, в которой говорится о том, что квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов его катетов. Если все стороны правильного прямоугольника равны, то такой прямоугольник называют квадратом. Квадрат также определяется как ромб, у которого все его стороны равны между собой, а все углы прямые.
Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойство. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Свойство. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
1 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
2 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
3 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Определение. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями.
Трапеция называется равнобедренной (равнобочной) , если ее боковые стороны равны. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции . Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойство. Диагонали прямоугольника равны.
Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.
Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойство. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Квадрат есть частный вид прямоугольника, а также частный вид ромба. Поэтому он имеет все их свойства.
Свойства:
1. Все углы квадрата прямые
2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Разделы: Начальная школа
Тема : Виды четырехугольников. Прямоугольник
- Обеспечить усвоение учащимися знаний о различных видах четырехугольников, прямоугольника.
- Развить умения классифицировать факты, делать выводы, строить прямоугольник и отличать его из ряда четырехугольников.
- Воспитание мотивов учения, положительного отношения к занятиям.
Тип урока – комбинированный.
Вид урока – дидактическая игра.
Методы и приемы обучения: диалогический и эвристический методы:
- организация труда в парах;
- фронтальная работа;
- оперативная форма проверки знаний (спецкарточки);
- демонстрация наглядных пособий;
- работа в бригадах.
Оборудование:
- кодоскоп;
- плакат с видами четырехугольников;
- наглядные пособия к сказке;
- сигнальные карточки;
- перфокарты для каждого ученика с заготовленными таблицами;
- заготовки прямоугольников;
- ножницы, линейки, карандаши, чертежные треугольники;
- магнитная доска;
- прямоугольники с номерками;
- раздаточный материал (прямоугольники красного цвета для поощрения отвечающих);
- магнитофон.
Ход урока
I. Актуализация прежних знаний (5 минут)Сегодня на уроке мы с вами совершим путешествие в удивительную страну Геометрию :
– Кто знает, что в переводе с греческого обозначает слово “геометрия”?
“Гео” – земля, “метрия” – измерение.
Наука эта появилась в Греции.
Сопровождать нас будет в нашем путешествии (учитель показывает сказочного героя) удивительный герой – волшебник.
– Всех вас он зашифровал, и вы будете путешествовать под зашифрованными номерами.
– Кто узнал его? (Старик Хоттабыч.)
– Кто написал книжку “Старик Хоттабыч”? (Лагин.)
Старик Хоттабыч очень старый волшебник и его знания устарели, поэтому он пришел к вам на урок и хочет узнать, что же сейчас изучают современные дети. Помогите волшебнику разобраться.
– Что изображено на доске? (Геометрические фигуры.)
– Определите на какие 2 группы вы могли бы разделить эти геометрические фигуры? (Треугольники и четырехугольники.)
Заполните карточку №1. Укажите номера треугольников и четырехугольников. Все дети указывают в карточке номера.
В это время 2 ученика фиксируют ответы на доске.
– Укажите во второй карточке номера треугольников по углам (тупоугольный, прямоугольный, остроугольный) и по сторонам (равносторонний и равнобедренный).
Работу выполняют по вариантам, а потом обмениваются карточками и осуществляют взаимопроверку в парах.
II. Формирование новых понятий и способов действий(20 минут)
1) Сегодня мы с нашим героем познакомимся с видами четырёхугольников, а именно; с прямоугольником, научимся его чертить и выделять среди других фигур Т.к. треугольников и четырёхугольников в геометрии много. Вот как выглядят некоторые из них:
ВИДЫ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ
– Какие из них вы уже знаете?
Дети называют те виды, которые знают.
– Что общего у этих фигур, что их объединяет в одну группу?
(4 стороны, 4 угла, 4 вершины.)
– А чем один вид отличается от другого? (Длинами сторон и особенностями углов.)
Учитель обращает внимание детей на таблицу и говорит определения.
- Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.
- Трапеция – четырехугольник, у которого только 2 противоположные стороны параллельны (перевод “столик”).
- Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны. – параллелограмм, у которого все стороны равны.
- Неправильный четырехугольник – фигура, у которой стороны не равны и не параллельны.
2) Помогите Хоттабычу из ряда четырехугольников найти похожие (1 3 5).
– Как называются углы у фигур 1, 3, 5? (Прямые.)
– А как бы вы назвали эти фигуры? (Прямоугольники.)
– Попробуйте сказать, что же такое прямоугольник?
Прямоугольник – геометрическая фигура, у которой все углы прямые и противоположные стороны равны.
– Назовите вершины у прямоугольника АВСД? (А, В, С, Д – вершины.)
– А углы? (<АВД, <ВДС, <ДСА, <САВ)
– Стороны? (АВ, ВД, СД, СА)
– Как вы думаете, прямоугольник – нужная геометрическая фигура или нет (да).
Поможет вам в этом убедиться сказка.
3) Сказка “Полезный прямоугольник”.
Прямоугольник завидовал квадрату.
– Я такой неуклюжий. если поднимусь во весь рост, то стану длинным и узким. Вот таким:
– А если я лягу на бок, то буду низким и толстым:
– А ты всегда остаешься одинаковым – и стоя, и сидя, и лежа.
– Да, с гордостью говорил квадрат. У меня все стороны равны, не то, что у некоторых, то дылда-дылдой, то блин-блином. А однажды случилось вот что:
Старик Хоттабыч заблудился в лесу. Ковра-самолета у него не было, борода намокла под дождем, и выбраться из леса он не мог. Он шел через чащу и встретился с квадратом и прямоугольником.
– Можно я заберусь на Вас и погляжу, где мой дом? – спросил он у квадрата.
Хоттабыч залез сначала на одну сторону квадрата, но ничего не увидел, потому что ему мешали верхушки деревьев. Тогда волшебник попросил квадрат перевернуться на другую сторону, но, как известно, у квадрата все стороны равны, поэтому он снова ничего не увидел.
– Гражданин Квадрат, помогите мне хотя бы перебраться через речку. Квадрат подошел к речке и попытался дотронуться до другого берега. НО...плюх!.
– Может быть, я смогу помочь Вам? – предложил скромный прямоугольник.
Он стал во весь свой рост и Хоттабыч взобрался на него и
оказался выше деревьев. Вдалеке он увидел свой дом и понял, куда надо идти. Тогда прямоугольник лег на бок и стал мостом. Хоттабыч перебрался по прямоугольнику через речку, помог ему подняться и, поблагодарив прямоугольник, отправился домой.
А квадрат, который после купания сушился на берегу, сказал
прямоугольнику:
– Вы, оказывается, полезная фигура
– Ну, что вы! – скромно улыбнулся прямоугольник.
Просто мои стороны разной длины 2 – длинные, 2 – короткие. Иногда это бывает очень удобно.
– Какие предметы прямоугольной формы вы видите у себя в классе?
4) Существует специальный чертежный треугольник, при помощи которого можно определить прямые углы в геометрической фигуре. Попробуйте самостоятельно опытным путем определить, какие из этих фигур прямоугольники.
КАРТОЧКА №3.
– Как в этом поиске вам помог чертежный треугольник?
Дети определяют у себя и называют номера фигур (2,4). Демонстрируют на доске, как им в определении помог чертежный треугольник.
5) Физминутка (песня “Дважды два четыре”).
Ваш учитель будет рад
Посмотреть на ваш
Встаньте дети возле парт
Покажите всем подряд
Руки выставьте вперед
А потом наоборот
Получился самолет
Отправляемся в полет
Неразлучные друзья / 2 раза
Квадрат, прямоугольник,
Неразлучные друзья
Геометрия и школьник
6) Начертите прямоугольник, пользуясь отрезками и чертежным треугольником:
Дети чертят у себя в тетрадях, а потом с объяснением у доски.
Чертим отрезок 4 см. Совмещаем сторону треугольника с отрезком и строим прямой угол, откладываем отрезок и т. д.
1. Начертите прямоугольник, зная, что одна сторона 2 см, а другая на 4 см больше.
Анализ задачи:
– Можете ли вы сразу начертить прямоугольник? (Нет)
– Почему? (Не знаем длину второй стороны.)
– А как найти длину второй стороны? (2+4=6).
Работает бригада (4 человека).
2. У вас есть заготовки прямоугольников со сторонами 8 см и 4 см. Их нужно разрезать на 4 одинаковых треугольника, а затем из них составить квадрат. Как это сделать?
3. Старик Хоттабыч хочет убедиться, что вы были внимательными и усвоили то, о чем мы говорили. От его имени я задаю вопросы, а вы с помощью сигнальных карточек показываете ответ: Да – зеленый цвет, Нет – красный.
1) Верно ли, что если фигура имеет 4 угла, 4 стороны, 4 вершины, то ее можно назвать четырехугольником? (Да)
2) Является ли прямоугольник одним из видов четырехугольников? (Да)
3) Верно ли, что противоположные стороны прямоугольника не равны? (Нет)
4) Правильно ли, что квадрат можно назвать прямоугольником и четырехугольником? (Да)
4. Графический диктант
Отметьте точку А, от нее вниз под прямым углом проведите отрезок длиной 2 см и обозначьте его конец точкой В. От В вправо под прямым углом проведите отрезок длиной 4 см и обозначьте конец точкой С. Вверх проведите под прямым углом отрезок длиной 2 см и поставьте точку Д. Достройте самостоятельно фигуру, которой мы много внимания уделили на уроке.
– Какая это фигура? (прямоугольник)
5. Найдите на чертеже 3 четырехугольника :
6. Загадки.
Разгадав загадки, вы узнаете, что хочет сказать вам наш гость.
– О какой фигуре идет речь?
Он давно знакомый мой,
Каждый угол в нем прямой.
Все четыре стороны,
Одинаковой длины.
Вам его представить рад.
– Как зовут его? (Квадрат )
– Какая фигура может о себе так сказать?
Ты на меня, ты на него,
На всех нас посмотри.
У нас всего, у нас всего
По три стороны и три угла,
И столько же вершин,
И трижды – трудные дела,
Мы трижды совершим. (Треугольник
)
– Какие виды четырехугольников вы знаете?
– Какая фигура называется прямоугольником?
V. Домашнее задание.Придумайте сказку или кроссворд о геометрических фигурах.
Список литературы:
- В. Волина “Праздник числа”, Москва, Дрофа 1997 г.
- А.М. Пышкало “Методика обучения элементам геометрии в начальных классах”, Просвещение, 1980 г.
- Журнал “Завуч”, №1, 2000, Фомин А.А. “Соблюдение педагогических требований как фактор, повышающий профессиональную компетентность современного учителя”, с. 21.
- Журнал “Начальная школа”, №2, 2001 г. “Геометрия”, с.15.
- Газета “Начальная школа”, №3, 1997 г. “Геометрия”, с. 4.
